آنالیز حقیقی 2

\begin{equation*}\newcommand{\to}{\rightarrow} \newcommand{\To}{\longrightarrow}\newcommand{\rd}{\operatorname{d}}\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}\end{equation*} $1$

\begin{equation*} \newcommand{\to}{\rightarrow} \newcommand{\To}{\longrightarrow}\newcommand{\rd}{\operatorname{d}} \newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}\newcommand{\set}[1]{\{\,#1\}} \newcommand{\setm}[2]{\{\,#1\ \,;\ \,#2\,\}} \newcommand{\setw}[1]{\left\{\,#1\,\right\}} \newcommand{\setwm}[2]{\left\{\,#1\ \,;\,\ #2\,\right\}} \newcommand{\supm}[2]{\sup\left\{\,#1\ \,;\,\ #2\,\right\}} \newenvironment{name}[n][default]{begincmd}{endcmd} \end{equation*}

تعریف : یک اندازه ((measure)) روی $(X,\cc A)$ تابعی مانند $\gm:\cc A\to [0,\infty]$ می باشد بطوریکه \begin{enumerate} \item برای هر $A\in\cc A$ داریم $\gm(A)\geq 0$. \item $\gm(\emptyset)=0$ \item اگر $A_i\in\cc A$ مجموعه های مجزا باشند، آنگاه \begin{align*} \gm(\cup_{i=1}^\infty A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}\gm(A_i) \end{align*} \end{enumerate}

مثال : \begin{enumerate} \item فرض کنیم $X$ یک مجموعه ناتهی باشد، و $\cc A$ گردایۀ تمام زیر مجموعه های $X$ باشد. $\gm(A)$ را تعداد عناصر $A$ خوانیم. $\gm$ یک اندازه می باشد که اندازه شمارشی ((counting measure)) می خوانیم. \item فرض کنیم $X=\bb R$ و $\cc A$ مجموعه تمام زیر مجموعه های $X$، $x_1,x_2,\cdots\in\bb R$ و $a_1,a_2.\cdots>0$. قرار می دهیم $\gm(A)=\sum_{\set{i;x_i\in\cc A}}a_i$. حالت خاصی از این اندازه، $x_i=i$ و $a_i=1$ می باشد. بعدا خواهیم دید این حالت به ما امکان نمایش سری های نامتناهی بعنوان تابع روی فضا را خواهد داد. \item اگر $x\in A$ آنگاه $\gd_x(A)=1$، در غیر اینصورت $0$. این اندازه را جرم نقطه ای ((point mass)) در $x$ نامیم. \end{enumerate}

گزاره : احکام زیر برقرار می باشند. \begin{enumerate} \item اگر $A,B\in \cc A$ و $A\ci B$، آنگاه $\gm(A)\leq \gm(B)$. \item اگر $A_i\in \cc A$ و $A=\cup_{i=1}^{\infty}A_i$، آنگاه $\gm(A)\leq \sum_{i=1}^{\infty}\gm(A_i)$. \item اگر $A_i\in\cc A$، $A_1\sci A_2\sci\cdots$ و $A=\uu_{i=1}^{\infty}A_i$، آنگاه $\gm(A)=\lim_{n\to\infty}\gm(A_n)$. \item اگر $A_i\in \cc A$، $A_1\supset A_2\supset\cdots$، $\gm(A_1)<\infty$ و $A=\cap_{i=1}^{\infty} A_i$، آنگاه $\gm(A)=\lim_{n\to\infty}\gm(A_n)$. \end{enumerate}

اثبات: \begin{enumerate} \item فرض کنیم $A_1=A, A_2=B-A$ و $A_3=A_4=\cdots=\emptyset$. حال قسمت سوم تعریف اندازه را بکار می بریم. \item فرض کنیم $B_1=A_1,B_2=A_2-B_1,B_3=A_3-(B_1\uu B_2),\cdots$. آنگاه $B_i$ها مجزا می باشند و $\uu_{i=1}^{\infty}B_i=\uu_{i=1}^{\infty}A_i$. لذا $\gm(A)=\sum_{i=1}^{\infty}\gm(B_i)\leq\sum_{i=1}^{\infty}\gm(A_i)$. \item فرض کنیم $B_i$ها همانند قسمت دوم باشند. چون $\uu_{i=1}^{\infty}B_i=\uu_{i=1}^{\infty}A_i$، لذا \begin{align*} \gm(A)&=\gm(\uu_{i=1}^{\infty}A_i)=\gm(\uu_{i=1}^{\infty}B_i)=\sum_{i=1}^{\infty}\gm(B_i)\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\gm(B_i)=\lim_{n\to\infty}\gm(\uu_{i=1}^{n}B_i)=\lim_{n\to\infty}\gm(\uu_{i=1}^{n}A_i) \end{align*} \item قسمت (3) را برای مجموعه های $A_1-A_i, i=1,2,\cdots$. \end{enumerate} $\square$

مثال : در گزاره بالا شرط $\gm(A_1)<\infty$ ضروری می باشد. فرض کنید $X$ اعداد صحیح مثبت باشد، $\gm$ اندازه شمارشی و $A_i=\set{i,i+1,\cdots}$. آنگاه $A_i$ها نزولی می باشند و برای تمام $i$ها داریم $\gm(A_i)=\infty$. ولی $\gm(\cap_iA_i)=\gm(\emptyset)=0$.

تعریف : احتمال ((probability)) یا اندازه احتمال ((probability measure)) ، اندازه ای می باشد که $\gm(X)=1$. در این حالت بجای $(X,\cc A,\gm)$ می نویسیم $(X,\cc A,\bb P)$.