آنالیز حقیقی 2

-
\begin{equation*}\newcommand{\to}{\rightarrow} \newcommand{\To}{\longrightarrow}\newcommand{\rd}{\operatorname{d}}\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}\end{equation*} $1$ \begin{equation*} \newcommand{\to}{\rightarrow} \newcommand{\To}{\longrightarrow}\newcommand{\rd}{\operatorname{d}} \newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}\newcommand{\set}[1]{\{\,#1\}} \newcommand{\setm}[2]{\{\,#1\ \,;\ \,#2\,\}} \newcommand{\setw}[1]{\left\{\,#1\,\right\}} \newcommand{\setwm}[2]{\left\{\,#1\ \,;\,\ #2\,\right\}} \newcommand{\supm}[2]{\sup\left\{\,#1\ \,;\,\ #2\,\right\}} \newenvironment{name}[n][default]{begincmd}{endcmd} \end{equation*} تعریف : یک اندازه ((measure)) روی $(X,\cc A)$ تابعی مانند $\gm:\cc A\to [0,\infty]$ می باشد بطوریکه \begin{enumerate} \item برای هر $A\in\cc A$ داریم $\gm(A)\geq 0$. \item $\gm(\emptyset)=0$ \item اگر $A_i\in\cc A$ مجموعه های مجزا باشند، آنگاه \begin{align*} \gm(\cup_{i=1}^\infty A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}\gm(A_i) \end{align*} \end{enumerate} مثال : \begi...
ارسال یک نظر

آنالیز حقیقی 1

-
\begin{equation*}\newcommand{\to}{\rightarrow} \newcommand{\To}{\longrightarrow}\newcommand{\rd}{\operatorname{d}}\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}\end{equation*} $1$
\begin{equation*} \newcommand{\to}{\rightarrow} \newcommand{\To}{\longrightarrow}\newcommand{\rd}{\operatorname{d}} \newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}\newcommand{\set}[1]{\{\,#1\}} \newcommand{\setm}[2]{\{\,#1\ \,;\ \,#2\,\}} \newcommand{\setw}[1]{\left\{\,#1\,\right\}} \newcommand{\setwm}[2]{\left\{\,#1\ \,;\,\ #2\,\right\}} \newcommand{\supm}[2]{\sup\left\{\,#1\ \,;\,\ #2\,\right\}} \newenvironment{name}[n][default]{begincmd}{endcmd} \end{equation*}

برای مجموعه $X$، تعریف می کنیم $A^c=\setm{x\in X}{x\notin A}$ و $A\setminus B=A-B=A\cap B$.

تعریف : یک جبر ((algebra)) گردایۀ $\cc A$ از زیر مجموعه های $X$ می باشد بطوریکه: \begin{enumerate} \item $\emptyset,X\in \cc A$. \item اگر $A\in\cc A$ آنگاه $A^c\in\cc A$. \item اگر $A_1,A_2,\cdots,A_n\in\cc A$ آنگاه $\cup_{i=1}^nA_i\in\cc A$ و $\cap_{i=1}^nA_i\in\cc A$. $\cc A$ را یک $\gs$-جبر ((algebra-$\gs$)) خوانیم اگر \item اگر $A_1,A_2,\cdots$ در $\cc A$ باشند، آنگاه $\cup_{i=1}^\infty A_i\in\cc A$ و $\cap_{i=1}^\infty A_i\in\cc A$. \end{enumerate}

در شرط (4) ما مجاز به انتخاب زیر مجموعه های شمارا ((countable set)) از $\cc A$ هستیم.

مثال : \begin{enumerate} \item فرض کنیم $X=[0,1]$ و ${\cc A}=\set{\emptyset,X,[0,\frac{1}{2}],(\frac{1}{2},1]}$. \item فرض کنیم $X=[1,2,3]$ و ${\cc A}=\set{\emptyset,X,[0,\set{1},\set{2,3}}$. \item فرض کنیم $X=[0,1]$ و $B_1,\cdots,B_8$ زیرمجموعه های دوبدو مجزا از $X$ باشند که اجتماعشان برابر با $X$ باشد. فرض کنیم $\cc A$ گردایۀ تمام اجتماع های متناهی $B_i$ها و مجموعه تهی باشد. (بنابراین $\cc A$ شامل $2^8$ ). \end{enumerate}

با استفاده از تعریف $\gs$-جبر می توان ثابت کرد: اشتراک هر گردایه از $\gs$-جبرها، $\gs$-جبر می باشد. اگر $\cc C$ گردایه ای از زیرمجموعه های $X$ باشد، آنگاه حداقل یک $\gs$-جبر وجود دارد شامل $\cc C$ می باشد. بعبارت دیگر مجموعه تمام زیر مجموعه های $X$ شامل این مجموعه می باشد. لذا اشتراک تمام زیر مجموعه های شامل $\cc C$، یک $\gs$-جبر می باشد که آن را با $\gs(\cc C)$ نمایش می دهیم. اگر $\cc A$ یک $\gs$-جبر شامل $\cc C$ باشد، داریم $\gs(\cc C)\subseteq \cc A$.

اگر $X$ دارای ساختاری اضافه نیز باشد، به عنوان مثال، فضای متری باشد، می توان از مجموعه های باز صحبت کرد. اگر $\cc G$، گردایۀ مجموعه های باز $X$ باشد، انگاه $\gs(\cc G)$ را $\gs$-جبر بورل ((Borel$\gs$-algebra)) روی $X$ خوانیم و اغلب با $\cc B$ نمایش می دهیم. ما بعدا خواهیم دید که وقتی $X$ مجموعه اعداد حقیقی باشد، $\cc B$، مجموعه تمام زیر مجموعه های $X$ نمی باشد.

این بخش را با گزاره زیر به پایان می رسانیم.

گزاره : فرض کنیم $X=\mathbb R$، $\gs$-جبر تولید شده توسط هر یک از گردایه های زیر $\gs$-جبر بورل می باشد. \begin{enumerate} \item $\cc C_1=\setm{(a,b)}{a,b\in\mathbb R}$
\item $\cc C_2=\setm{[a,b]}{a,b\in\mathbb R}$
\item $\cc C_3=\setm{(a,b]}{a,b\in\mathbb R}$
\item $\cc C_4=\setm{(a,\infty)}{a\in\mathbb R}$ \end{enumerate}

اثبات: \begin{enumerate} \item فرض کنیم $\cc G$ گردایۀ مجموعه های باز باشد. آنگاه $\cc C_1\ci \cc G\ci\gs(\cc G)$. $\gs(\cc G)$، $\gs$-جبر بورل شامل $\cc C_1$. چون $\gs(\cc C_1)$ اشتراک تمام $\gs$-جبرهای شامل $\cc C_1$ می باشد، لذا $\gs(\cc C_1)\ci\gs(\cc G) $. برای اثبات عکس، فرض کنیم $ G$ مجموعه ای باز باشد، لذا اجتماع شمارای از بازه های باز می باشد. لذا $G\in\gs(\cc C_1)$ می باشد و لذا $\cc G\ci \gs(\cc C_1)$. $\gs(\cc G)$ اشتراک تمام $\gs$-جبرهای شامل $\cc G$ می باشد، لذا $\gs(\cc C_1)\ce\gs(\cc G) $. \item اگر $[a,b]\in\cc C_2$، آنگاه \begin{align*} [a,b]=\cap_{n=1}^\infty (a-1/n,b+1/n)\in\gs(\cc G) \end{align*} لذا $\cc C_2\ci\gs(\cc G)$، و همانند قسمت (1) ثابت می شود که $\gs(\cc C_2)\ci\gs(G)$. اگر $(a,b)\in\cc C_1$، فرض کنیم $n_0=2/(b-a)$ لذا داریم \begin{align*} (a,b)=\cup_{n=n_0}^{\infty} [a+1/n,b-1/n]\in\gs(\cc C_2) \end{align*} در نتیجه $\gs$-جبر بورل، که بنابر (1) برابر است با $\gs(\cc C_1)$ محتوا در $\gs(\cc C_2)$ می باشد. \item اثبات، مشابه قسمت (2) می باشد. توجه داریم که \begin{align*} (a,b]=\cap_{n=1}^\infty (a,b+1/n) \end{align*} و \begin{align*} (a,b)=\cup_{n=n_0}^\infty(a,b-1/n] \end{align*} برای $n_0$ به اندازه کافی بزرگ. \item با استفاده از (3) ثابت می شود. توجه داریم که \begin{align*} (a,b]=(a,\infty)-(b,\infty) \end{align*} و \begin{align*} (a,\infty)=\cup_{n=1}^\infty(a,a+n) \end{align*} \end{enumerate} $\square$

نظرات

ارسال یک نظر