\begin{equation*}\newcommand{\to}{\rightarrow}
\newcommand{\To}{\longrightarrow}\newcommand{\rd}{\operatorname{d}}\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}\end{equation*}
$1$
\begin{equation*}
\newcommand{\R}{\bm{R}}
\newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\to}{\rightarrow}
\newcommand{\To}{\longrightarrow}
\newcommand{\uu}{\cup}
\newcommand{\ii}{\cap}
\newcommand{\gd}{\delta}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\gs}{\sigma}
\newcommand{\gm}{\mu}
\newcommand{\ci}{\subseteq}
\newcommand{\nc}{\nsubseteq}
\newcommand{\sci}{\subset}
\newcommand{\nci}{\nc}
\newcommand{\ce}{\supseteq}
\newcommand{\nce}{\nsupseteq}
\newcommand{\nin}{\notin}
\newcommand{\es}{\varnothing}
\newcommand{\ol}{\overline}
\newcommand{\bs}{\backslash}
\newcommand{\bb}{\mathbb}
\newcommand{\scr}{\mathscr}
\newcommand{\nat}{{\bb N}}
\newcommand{\rea}{{\bb R}}
\newcommand{\cc}{{\mathbb{C}}}
\newcommand{\bbb}{\bf\boldmath}
\DeclareMathOperator{\re}{{ Re}}
\DeclareMathOperator{\im}{{ Im}}
\DeclareMathOperator{\ar}{{ arg}}
\DeclareMathOperator{\Ar}{{ Arg}}
\DeclareMathOperator{\arc}{arc}
\DeclareMathOperator{\rd}{\operatorname{d}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}
\newcommand{\setm}[2]{\{\,#1\ \,;\ \,#2\,\}}
\newcommand{\setw}[1]{\left\{\,#1\,\right\}}
\newcommand{\setwm}[2]{\left\{\,#1\ \,;\,\ #2\,\right\}}
\newcommand{\supm}[2]{\sup\left\{\,#1\ \,;\,\ #2\,\right\}}
\newcommand{\para}[1]{\left(#1\right)}
\newenvironment{name}[n][default]{begincmd}{endcmd}
\end{equation*}
555
اعداد مختلط
معادلاتی بصورت $X^2=-1$ در دستگاه اعداد حقیقی دارای جواب نمی باشند. سعی در حل چنین معادلاتی سبب پیدایش دستگاه جدیدی از اعداد به نام اعداد مختلط گردید.
اولین کسی که اعداد مختلط را برای این منظور بکار برد، ریاضیدانی ایتالیایی به نام جیرولامو کاردانو بود. کاردانو همان کسی است که فرمولی برای حل معادله درجۀ سوم ارائه داد. اصطلاح "اعداد مختلط" بوسیلۀ ریاضیدان بزرگ آلمانی کارل فردریش گاووس وضع شد و هم او بود که راه را برای استفادۀ عمومی و سیستماتیک از اعداد مختلط هموار نمود.
تعریف 1:
یک زوج مرتب $(a,b)$ از اعداد حقیقی را یک عدد مختلط می نامیم و می نویسیم $z=(a,b)$.
$a$ را قسمت حقیقی و $b$ را قسمت موهومی $z$ می نامیم و می نویسیم
$\re(z)=2$ و $\im(z)=b$
مجموعۀ اعداد مختلط را با $\cc $ نمایش می دهیم. باین ترتیب هر یک از جفت های مرتب $(1,2)$ و $(\pi,10)$ اعداد مختلط هستند و داریم $(\pi,10)\in \cc $ و $(1,2)\in\cc $.
تعریف 2:
دو عدد مختلط $(a,b)$ و $(c,d)$ را مساوی می گوئیم و می نویسیم $(a,b)=(c,d)$ اگر و تنها اگر $a=c , b=d$.
لذا دو عدد مختلط مساوی می باشند اگر و تنها اگر دارای قسمت های حقیقی و موهومی برابر باشند.
تعریف 3:
روی مجموعۀ اعداد مختلط عمل "+" را بصورت زیر تعریف می کنیم.
\begin{align*}
+:\cc\times\cc&\To\cc\\
( (a,b),(c,d) )&\mapsto(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
\end{align*}
و عمل ضرب "$\cdot$" بصورت زیر تعریف می شود
\begin{align*}
\cdot:\cc\times\cc&\To\cc\\
( (a,b),(c,d) )&\mapsto(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
\end{align*}
اگر عدد حقیقی $a$ را بصورت $a=(a,0)$ نمایش دهیم با توجه به عمل جمع و ضرب داریم
\begin{equation*}
a+b=(a,0)+(b,0)=(a+b,0)=a+b\\
ab=(a,0)(b,0)=(ab,0)=ab
\end{equation*}
لذا اعداد مختلط توسیعی از اعداد حقیقی می باشند.
عدد $(0,1)$ را یکه موهومی می نامیم و با $i$ نمایش می دهیم. با توجه به تعریف عمل ضرب داریم
\begin{equation*}
i^2=ii=(0,1)(0,1)=(-1,0)
\end{equation*}
حال با توجه به آنچه در بالا ذکر شد عدد مختلط $z=(a,b)$ را می توان بصورت $z=a+ib$ نمایش داد. لذا داریم
\begin{equation*}
(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)\\
(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(bc+ad)
\end{equation*}
تعریف 4:
مزدوج عدد مختلط $z=a+ib$ بصورت زیر تعریف می شود که با $\bar z$ نمایش داده می شود
\begin{equation*}
\bar z=a-ib
\end{equation*}
تعریف 5:
فرض کنیم $a+ib$ و $c+id$ اعدادی مختلط باشند، تفاضل و تقسیم بصورت زیر تعریف می شود.
\begin{align*}
(a+ib)-(c+id)=(a+ib)+(-c-id)=(a-c)+i(b-d)
\end{align*}
\begin{align*}
\frac{a+ib}{c+id}&=\frac{a+ib}{c+id}\frac{c-id}{c-id}= \frac{(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)}\\
&=\frac{(a+ib)(c-id)}{c^2+d^2}\\
&=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+i\frac{cb-ad}{c^2+d^2}
\end{align*}
شکل قطبی اعداد مختلط
همانگونه که در ابتدا بحث شد اعداد مختلط را بصورت زوج مرتبی از اعداد حقیقی تعریف کردیم لذا می توانیم به بحث راجب شکل قطبی این اعداد بپردازیم.
قدر مطلق عدد مختلط $z=a+ib$ را $a^2+b^2$ تعریف می کنیم و با $\abs{z}$ نمایش می دهیم. لذا داریم $\abs{z}=z\bar z$.
از طرفی با توجه به شکل داریم
\begin{equation*}
a=\abs{z}\cos\theta\\
b=\abs{z}\sin\theta
\end{equation*}
و لذا داریم
\begin{equation*}
z=\abs{z}(cos\theta+i\sin\theta)
\end{equation*}
$\theta$ را آرگومان $z$ می نامیم و با نماد $\ar z$ نمایش می دهیم. لذا داریم
\begin{equation*}
\theta= \ar z=\arc\tan\frac{b}{a}; z\neq 0
\end{equation*}
مقداری از $\theta$ که در بازۀ $-\pi <\theta\leq \pi$ قرار دارد را مقدار اصلی ارگومان می نامیم و با $\Ar z$ نمایش می دهیم.
در عدد مختلط $z=a+ib$ که در آن $i=\sqrt{-1}$ و $\im(z)=b$ و $\re(z)=a$، روابط زیر برقرار است:
\begin{equation*}
\abs{z}=\sqrt{a^2+b^2}\\
\bar z=a-ib\\
z\bar z=(a+ib)(a-ib)
\end{equation*}
حال اگر $z=x+iy$ و $z_0=x_0+iy_0$ و $z_1=x_1+iy_1$ اعداد مختلط باشد داریم:
-
$\abs{z-z_0}=R$ یک دایره به شعاع $R$ و مرکز $z_0$ می باشد.
-
$\abs{z-z_0}+\abs{z-z_1}=R$ بیانگر یک بیضی با کانونهای $z_0$ و $z_1$ می باشد، (با شرط $\abs{z_0-z_1} < R $ )
-
$\abs{z-z_0}+\abs{z-z_1}=R$ بیانگر یک هذلولی با کانونهای $z_0$ و $z_1$ می باشد، (با شرط $\abs{z_0-z_1} > R $ )
-
رابطه $\abs{z-z_0}=\abs{z-z_1}$ بیانگر عمود منصف پاره خطی است که دو سر آن روی $z_0$ و $z_1$ است.
-
فرم قطبی یک عدد مختلط بصورت $z=re^{i\theta}$ است که $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$.
مثال:
مکان هندسی نقاطی از صفحه، که با رابطه $\re{\frac{1}{z}}> 1$ تعریف می شود را مشخص کنید.
حل:
\begin{align*}
\frac{1}{z}=\frac{1}{x+iy}\times\frac{x-iy}{x-iy}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}\\
\re\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2} > 1 \Longrightarrow x^2+y^2-x < 0\\
\left(x-\frac{1}{2} \right)^2+y^2 < \frac{1}{4}
\end{align*}
بنابراین مکان هندسی مورد نظر داخل دایرهای به مرکز $\para{\frac{1}{2},0}$ و شعاع $\frac{1}{2}$ است.
مثال:
هرگاه $z=x+iy$ باشد. آنگاه نامعادله $\frac{\abs{z-3}}{\abs{z+3}}< 2$ را ساده کنید.
حل:
\begin{align*}
\frac{\abs{x+iy-3}}{\abs{x+iy+3}}< 2&\ \to\ \frac{\sqrt{(x-3)^2+y^2}}{\sqrt{(x+3)^2+y^2}} <2\\
\frac{(x-3)^2+y^2}{(x+3)^2+y^2} <4&\ \to\ 3x^2+30x+27+3y^2>0 \\
x^2+10x+9+y^2>0&\ \to\ (x+5)^2-25+9y^2>0 \\
(x+5)^2+y^2>16&\ \to\ \abs{z+5} >4
\end{align*}
نظرات
ارسال یک نظر